Ce și cum învață un elev de liceu din clasa a IX-a despre funcții?

Studiul tezei profesorului Ce și cum învață un elev de liceu din clasa a IX-a despre funcții? Autor: Bogye Tamara Student de masterat, istoria matematicii Supervizor: Éva Vásárhelyi Șef de centru Profesor asociat ELTE TTK Centrul de predare și metodică matematică Universitatea Eötvös Loránd Budapesta, 2014.

Cuprins Introducere. 3 1. Funcții în curriculum. 5 1.1. Curriculum național de bază. 5 1.1.1. Matematica ca domeniu de alfabetizare în NAT. 7 1.1.2. Sarcini de dezvoltare în domeniul alfabetizării matematice. 8 1.1.3. Funcții în NAT. 9 1.2. Curriculum-cadru. 11 1.2.1. Funcții în clasa a IX-a a curriculumului cadru al școlii de liceu. 12 1.3. Curriculum local. 16 1.4. Curriculum. 18 2. Rolul funcțiilor în absolvire. 19 2.1. O absolvire pe două niveluri. 19 2.2. Absolvire intermediară. 20 2.2.1. Funcții la nivel intermediar. 20 2.3. Nivelul avansat de absolvire. 22 3. Tema funcțiilor din unele manuale în circulație. 24 3.1. Introducerea sistemului de coordonate. 25 3.2. Introducerea și discutarea conceptului de funcții. 27 3.3. Funcții liniare. 30 3.4. Este o funcție de proporționalitate dreaptă și inversă. 32 3.5. Valoare absolută, funcție pătratică și rădăcină pătrată. 34 3.6. Proprietățile funcției. 37 3.7. Transformări funcționale. 37 3.8. Curriculum suplimentar pentru întreg, fracțional, semn și funcții suplimentare. 37 3.9. Rezumat. 38 4. Banca de activități. 40 5. Programul de reprezentare a funcțiilor. 51 6. Rezumat. 53 7. Mulțumiri. 54 Referințe. 55 Atașamente. 57 2

Funcțiile fac parte din programa, un instrument pentru diferite profesii. Matematica este un fel de mod de gândire și o activitate creativă și, ca atare, o sursă a bucuriei gândirii, o afișare a ordinii și esteticii. Ca un domeniu prioritar pentru dezvoltarea alfabetizării matematice, NAT identifică dezvoltarea unei abilități solide de calcul și de comunicare ca prioritate. În timpul procesului de învățare a matematicii, elevii trebuie să poată selecta și aplica modele, metode, moduri de gândire și descrieri care se potrivesc fenomenului dat. Predarea matematicii servește, de asemenea, la dezvoltarea mai multor competențe cheie, iar cunoștințele acumulate pot fi utilizate în mod eficient în diferite domenii ale vieții. 1.1.2. Sarcini de dezvoltare în domeniul alfabetizării matematice Magyar Közlöny Nr. 66 Page 55 8

Funcții în programa 9 pentru clasele 12: 4. Funcții, elemente de analiză 4.1. Seria Seria: serii aritmetice și geometrice. Dobânzi, investiții și credite. 4.2. Definirea și reprezentarea funcțiilor Un concept ilustrativ al unei funcții. Definirea și reprezentarea unei funcții într-un sistem de coordonate. Funcții liniare și pătratice, proporționalitate inversă. Funcții de bază exponențiale, logaritmice, trigonometrice. 4.3. Reprezentarea transformării funcțiilor. 4.4. Caracterizarea funcțiilor Citirea unui set de valori, punct zero, valoare extremă, monotonie, periodicitate dintr-un grafic. Din această listă, este clar ce cunoștințe ar fi putut întâlni elevii înainte de clasa a IX-a pe tema funcțiilor și ce altceva este sarcina liceului. Cu toate acestea, NAT nu descrie în detaliu în ce clasă sunt conținutul și cerințele detaliate, acest lucru se face în programul-cadru. 10

Funcții în curriculum Utilizați un computer pentru a vizualiza un proces liniar. Funcția de valoare absolută. Grafic și proprietăți ale funcției x ax b (a 0). Funcția rădăcină pătrată. Grafic și proprietăți ale funcției x x (x 0). Funcția de proporționalitate inversă. graficul și proprietățile lui x x (ax 0). Folosirea funcțiilor. Soluție grafică a unei ecuații, a unui sistem de ecuații. Reamintim cunoștințele (proprietățile funcției). Reamintim cunoștințele (proprietățile funcției). Reamintim cunoștințele (proprietățile funcției). Crearea unui model funcțional al proceselor reale. Analiza procesului prin examinarea funcției, compararea rezultatului cu realitatea. Examinarea validității modelului. Folosirea unui computer (de exemplu, un program de desenare funcții). Atenție comună; urmărind simultan două sau mai multe aspecte. Rezolvarea unei probleme date în două moduri diferite. Compararea metodelor algebrice și grafice. Fizică: timpul de relief al pendulului matematic. Fizică: gaz ideal, izotermă. Informatică: utilizarea programelor de simulare a subiectului. Fizică: cinematică. Informatică: utilizarea programelor de simulare a subiectului. Fizică; chimie; stiinta biologica a sanatatii; geografie: sarcini de calcul. 14

Rolul funcțiilor în absolvire Dacă acesta este cazul, atunci întrebarea dată așteaptă anumite cunoștințe de cunoaștere, recunoașterea conexiunilor mai multor concepte și teoreme și aplicarea conștientă a unei secvențe de pași logici în mai mulți pași. În consecință, acestea sunt prezentate în anexă doar la nivelul enumerării. 23

Banca de sarcini a) b) Cu acest exemplu, putem practica definiția unei funcții sau o putem folosi pentru a testa cunoștințele. III. Există o funcție liniară al cărei grafic este paralel cu axa -t? Justificați răspunsul dvs! Această întrebare este, de asemenea, simplă, soluția sa se bazează pe definiția exactă a funcției. 41

Banca de activități XII. a) Folosiți figura de mai sus pentru a decide care dintre următoarele sarcini este oul de cimbru și notați-l în locul potrivit. Dintre ouă non-castraveți, alegeți o funcție în mod liber. Subliniați atribuirea funcției selectate cu un stilou. Fă-ți graficul! Apoi determinați gama de interpretare, setul de valori, poziția zero, posibila valoare extremă, monotonia! Oul Cucului: b) Scrieți regula de atribuire pentru fiecare funcție pe baza graficelor din figură. Aici aș folosi sarcina pentru a practica, sistematiza și controla proprietățile funcției și transformările funcției. În partea a) elevului i se oferă un fel de libertate prin faptul că poate alege pentru el însuși ce funcție ar caracteriza și ar dori să-și reprezinte graficul. Am intenționat să fie o sarcină mai jucăușă, deoarece există un număr destul de mare de exemple bazate pe cunoștințe similare în volumele de familii de manuale. 46

Banca de activități XIII. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Completați TOTO-ul de mai jos! Panta funcției f (x) = 1-2x: Graficul funcției pe axa y Graficul funcției Graficul funcției pe graficul funcției Axa funcției Graficul funcției trece prin următorul punct Zero funcție este de-a lungul intervalului pozitiv este negativ pozitiv Gama de direcție Gama de direcție Strict strict Monoton Monotonul scade odată cu creșterea ambelor. - tu. -tu. 47

Banca de activități Între cei 10 bani din contul nostru bancar și suma dobânzii datorate pentru aceasta Soluția ecuației 11 este a 12-a imagine a funcțiilor impare A este simetrică în raport cu planul de coordonate Panta funcției 13 constante este 13 + 1. Două funcții sunt egale dacă există o proporționalitate directă. există o proporționalitate inversă. 0 1 interpretarea intervalului lor gata de valoare este aceeași. Meci. niciunul dintre ei. ambii. axă. intervalul lor de interpretare este același, iar cele două funcții atribuie aceeași valoare fiecărui element. TOTÓ îi cere să cunoască conceptele de bază într-un mod jucăuș. Poate fi un lucru bun să organizezi o mini competiție cu ajutorul studenților. Cred că această sarcină ar putea fi utilizată într-o lecție sumară, deoarece există întrebări despre ea despre întregul subiect. XIV. Dávid și-a lăsat mașina în parcarea unui centru comercial din Budapesta în timp ce făcea cumpărături. Primele 2 ore de parcare în garajul subteran sunt gratuite pe zi. Apoi, după 2 ore, taxa pentru fiecare oră începută este de 200 HUF, dar taxa maximă zilnică poate fi doar 1600 HUF. a) Câte minute a parcat David dacă a plătit 800 de forinți gărzii parcării? b) Care grafic arată corect suma care trebuie plătită în funcție de orele petrecute la parcare? 48

Task Bank 1. 2. Sarcina se bazează pe modelarea corectă a unui exemplu de zi cu zi și este legată de subiectul funcțiilor pasului. XV. Din păcate, mâna a doua de pe ceasul de perete analogic de acasă s-a rupt. Deci, acum doar indicatorul arată minutele întregi. Indicatorul sare întotdeauna înainte un minut. a) Trageți poziția indicatorului în funcție de timpul scurs! Cu ce funcție cunoscută seamănă acest grafic? 49

Banca de activități b) Dacă ar fi să trasăm timpul scurs în funcție de poziția indicatorului, ce funcție am obține? Ultima sarcină poate fi, de asemenea, legată de cunoștințele legate de funcțiile pasului. Și aici se pune accentul pe modelarea corectă. Este important ca elevii să înțeleagă ce înseamnă trasarea timpului scurs în funcție de poziția indicatorului. În plus, întrebarea din partea b) poate provoca probleme, deoarece atunci când ne gândim la asta nu primim o funcție. Pentru a răspunde la acest lucru, este, de asemenea, esențial să cunoașteți definiția exactă a funcției. 50

Rezumat 6. Rezumat În studiul meu, am încercat să parcurg procesul de proiectare a lucrării unui profesor prin cunoștințele funcționale ale clasei a IX-a a liceelor. În plus, pentru a arăta partea practică, reală, distractivă a matematicii. Prin sarcini care pot stârni interesul elevilor. Și, în cele din urmă, pentru a pune o aplicație mobilă atât în mâinile elevilor, cât și a studenților, sau chiar a celor interesați, care poate fi scoasă din buzunar oricând, oriunde. 53

Mulțumiri 7. Mulțumiri Aș dori să mulțumesc supraveghetorului meu, Éva Vásárhelyi, pentru că am avut grijă de subiectul pe care l-am imaginat și că m-a ajutat să-mi pregătesc studiul până la capăt. Aș dori, de asemenea, să mulțumesc fratelui meu, Balázs Bogye, fără de care aș fi pierdut cu siguranță în labirintele Eclipsei. De asemenea, îi sunt recunoscătoare surorii mele, Emese Bianka Kárai, care a fost sprijinul meu spiritual chiar și în ultimele minute ale procesului de lucru. Și mulțumesc și celorlalți membri ai familiei mele, prietenilor mei și studenților mei care au stat alături de mine tot timpul. 54

Bibliografie Bibliografie 110/2012. (VI. 4.) Decret guvernamental: privind emiterea, introducerea și aplicarea Curriculumului Național de bază 51/2012. (XII. 21.) privind procedura de emitere și aprobare a programelor-cadru Decretul nr. 51/2012 privind procedura de emitere și aprobare a programelor-cadru. (XII. 21.) Anexele 3 și 6 Gábor Ábrahám - Dr. Erzsébet Kosztolányiné Nagy - Julianna Tóth: Matematică 9. Științe cotidiene, Maxim Könyvkiadó Kft., Szeged, 2013. Gábor Ábrahám - Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet: Julianna Tzth 9. Curriculum suplimentar Știință zilnică, Maxim Könyvkiadó Kft., Szeged, 2013. András Ambrus: Budapesta, 1995. Introducere în didactica matematică, Editura ELTE Eötvös, Gabriella Ambrus - Katalin Munkácsy Gergely: metodologie matematică exemplară, centru de predare și metodologie matematică, 2013. Ministrul resurselor umane 34/2014. (IV. 29.) Decretul EMMI privind modificarea anumitor decrete ministeriale privind reglementarea învățământului public

Bibliografie Katalin Horvay - Lóránt Pálmay: Companie de editare de manuale, Budapesta, 1978. Matematică pentru clasa I a liceului, József Kosztolányi - István Kovács - Klára Pintér - dr. János Urbán - István Vincze: MATEMATICĂ multicoloră Manualul 9, Mozaik Kiadó Kft, Szeged, 2013. Józsefné Pálfalvi dr. Sarolta Csekő: Matematică didactic, Editura Typotex, 2012. József Peller - László Megyesi: Analiza elementară a funcțiilor/spațiului vectorial www.magyarkozlony.hu/ http://www.oktatas.hu/ http://www.ofi.hu/56

Anexe Anexe Anexa I A) 2014-2005. Sarcini intermediare de absolvire a matematicii de primăvară după categorie. Majoritatea sarcinilor nu pot fi legate de un singur tip, astfel încât fiecare exemplu poate apărea în mai multe categorii. 1. Reprezentarea 1.1 Seria de sarcini primăvara 2010 II. Partea 57

Anexe 1.2 Grupul de lucru al primăverii 2009 II. Partea 1.3 Task Force primăvara 2005 Partea I 58

Anexe 2. Regula de atribuire 2.1 Setul de sarcini din primăvara anului 2014 Partea I 2.2 Setul de sarcini din primăvara anului 2014 Partea I 59

Anexe 2.3 Grupul operativ primăvara 2013 Partea I 2.4 Grupul operativ primăvara 2009 II. Partea 60

Anexe 2.5 Grupul de lucru primăvară 2005 Partea I 61

Anexe 3. Valorile funcției setului de valori ale intervalului de interpretare 3.1 Setul de sarcini II din primăvara anului 2010. Partea 62

Anexe 3.2 Grupul operativ primăvara 2007 partea I 3.3 Grupul operativ primăvara 2007 partea I 63

Anexe 3.4 Grupul operativ primăvara 2007 Partea I 3.5 Grupul operativ primăvara 2005 Partea I 64

Anexe 4. Proprietăți funcționale 4.1 Set activități primăvara 2013 Partea I 4.2 Set activități primăvară 2013 Partea I 65

Anexe 4.3 Grupul operativ primăvara 2012 Partea I 4.4 Grupul operativ II primăvara 2010. Partea 66

Anexe 4.5 Primăvara anului 2009 Grupul de lucru II. Partea 4.6 Grupul de lucru din primăvara anului 2008 Partea I 67

Anexe 4.7 Grupul operativ primăvara 2007 Partea I 4.8 Grupul operativ primăvara 2007 Partea I 68

Anexe 4.9 Primăvara anului 2006 Grupul operativ Partea I 69

Anexe 5. Transformări 5.1 Grupul de lucru pentru primăvara anului 2014 Partea I 70

Anexe 5.2 Grupul operativ primăvara 2013 Partea I 5.3 Grupul operativ primăvara 2010 II. Partea 71

Anexe 5.4 Grupul de lucru al primăverii 2009 II. Partea 5.5 Task Force primăvara 2005 Partea I 72

Anexe 6. Soluție ecuație/inegalitate grafic 6.1 Set de sarcini din primăvara anului 2009 II. Partea 73

Anexe 7. Interpretarea graficului 7.1 Set activități primăvara 2014 Partea I 7.2 Set activități primăvara 2013 Partea I 74

Anexe 7.3 Grupul operativ primăvara 2007 Partea I 7.4 Grupul operativ primăvara 2006 Partea I 75

Anexe 7.5 Primăvara anului 2005 Grupul operativ Partea I 76

Anexele B) 2014-2005. sarcini avansate de absolvire a matematicii de primăvară. 1. Seria de sarcini din primăvara anului 2014 În sarcină, proprietățile funcției sunt prezentate în principal din subiectul pe care l-am examinat. 77

Anexe 2. Set activități primăvara 2012 În exemplul următor, conceptele menționate deja în clasa a IX-a apar în principal în legătură cu derivatul funcției. Se poate vedea că în partea b) este mai simplu, necesită cunoașterea conceptului de zero. 3. Seria de sarcini de primăvară 2011 În această serie de sarcini, sarcina 7 este un tip de modelare a realității, în care suma costurilor în funcție de numărul de piese trebuie, de asemenea, să fie scrisă în funcție de numărul de piese. În partea b) soluția așteptată este găsirea minimului folosind calculul diferențial. 78

Anexe 4. Set de activități din primăvara anului 2010 Următoarele două sarcini depășesc sfera de învățământ a clasei a IX-a, dar includ concepte care apar deja în 9 în raport cu funcțiile (punct zero, set de valori). 79

Anexe 5. Seria de activități din primăvara anului 2009 În plus față de integrare, următoarea sarcină este menită, de asemenea, să măsoare dacă candidatul poate reprezenta o funcție sau poate interpreta un grafic pe baza unei formule ramificate. Următoarea problemă, în principal subtaskul b), conține ecuații care pot fi rezolvate grafic cu ajutorul funcțiilor. 80

Anexe 6. Set activități primăvara 2008 Următoarea sarcină solicită, de asemenea, cunoștințe de clasa a IX-a legate de funcții. 7. Set activități primăvara 2007 În partea a) din următoarea sarcină, candidatul trebuie să traseze o funcție pătratică. Exemplul este în prima parte. 81

Anexe Următoarea sarcină măsoară capacitatea elevilor de a reprezenta funcții. În plus, exemplul este destinat să măsoare capacitatea elevilor de a interpreta un grafic. Dintre acestea, conceptele de clasa a IX-a apar chiar dacă ne gândim la tipul de funcție, minim sau monotonie. 8. Setul de activități din primăvara anului 2006 Următorul este un exemplu simplu, mai ușor, bazat pe concepte. 82

Anexe În exemplul următor, trebuie să utilizați transformările funcției pentru a reprezenta funcția specificată. 9. Set de sarcini din primăvara anului 2005 În cazul următoarei sarcini, se poate observa că definiția setului de valori al funcției reapare. În plus, se intenționează să măsoare capacitatea candidatului de a reprezenta o funcție dată. 83

Anexe 10. Următorul exemplu se bazează puternic pe conceptul de zero. Ultima sarcină este, de asemenea, o problemă de modelare aproape reală. Aria dreptunghiului trebuie scrisă cu o funcție și apoi trebuie efectuat un calcul al valorii extreme. 84